Kamis, 03 Oktober 2019
MATERI KULIAH KALKULUS
Disusun oleh:
Selvia Nuer Agustin, S.Ars.
FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI PRODI TEKNOLOGI INFORMASI
UNIVERSITAS IBRAHIMY SUKOREJO SITUBONDO
2019
Rumus Integral Matematika- Dalam matematika ada namanya turunan ada juga namanya integral. Lalu, apa itu integral? Ia adalah lawan dari turunan atau diferensiasi. Sobat di Kelas XII pasti akan mendapatkan materi matematika ini. Integral juga dikenal sebagai antidiferensial dan dilambangkan dengan bentuk :
Sebuah fungsi F(X) disebut sebagai integral dari f(x) selagi apabila turunan pertama F'(x) = f(x). Jadi sebuah persamaan jika diturunkan kemudian diintegralkan akan mengahasilkan persamaan seperti bentuk awal.
Contoh Sobat punya persamaan f(x) = x2 + 2x, ketika persamaan itu di turunakan maka akan menghasilkan f'(x) = 2x + 2. Dengan menggunakan integral akan dapat mengembalikan bentuk 2x + 2 ke bentuk x2 + 2x. Jika turunan menurunkan 1 tingkat eksponen dari x2 ke x maka integral akan mengembalikan tingkat eksponen satu tingkat lebih tinggi, misal x menjadi x2, x2menjadi x3, dan seterusnya. Ada dua macam integral yaitu integral tak tentu dan integral tentu.
Integral Tak Tentu
Yang dinamakan integral tak tentu adalah integral yang tidak memiliki batas atas dan bawah. Biasanya hanya berupa integral dari sebuah aljabar matematika. Bentuk integral ini tidak memiliki daerah asal dan tidak memiliki daerah hasil
∫ f(x) dx = F(x) + c
Integral Tentu
Pondasi dasar tentang integral tentu pertama kali diperkenalkan oleh Newton dan Leibinz yang kemudian dieperkenalkan secara modern oleh Riemann. Integral ini memiliki batas atas dan batas bawah. Dalam aplikasinya, integral tentu banyak digunakan untuk menghitung luas di bawah kurva dengan batas tertentu atau menghitung volume benda jika diputar.
Mengenal Sifat dan Rumus Integral
berikut ini sifat-sifat dari operasi integral
Rumus Dasar Integral
selain rumus dasar di atas, sobat bisa menggunakan rumus cepat lagi praktis
Integral Fungsi Aljabar
Jika ada fungsi aljabar yang diintegralkan maka sobat bisa menggunakan rumus berikut:
contoh, jika sobat punya aljabar 2x + 5 ketika diitegralkan akan mendapatkan hasil sebagai berikut:
Integral Fungsi Eksponen
contoh:
∫ 3e4x dx Kita misalkan 4x = u sehingga persamaan di atas menjadi
∫ 3e4x dx = ∫ 3eu du/4
= 3/4 ∫ 3eu du
= 3/4 eu + c
= 3/4 e4x + C
Intgeral Fungsi Trigonometri
berikut rumus integral dari trigonometri yang sering dipakai dalam soal-soal matematika.
a. Integral dengan variabel sudut x atau sudut ax
∫ sin x dx = – cos x + c
∫ cos x dx = sin x + c
∫ sin ax dx = – (1/a) cos ax + c
∫ cos ax dx = (1/a) sin ax + c
∫ secs2 x dx = tan x + c
b. Integral dengan Bentuk Pangkat
Rumus Integral Matematika
Rumus Integral Matematika- Dalam matematika ada namanya turunan ada juga namanya integral. Lalu, apa itu integral? Ia adalah lawan dari turunan atau diferensiasi. Sobat di Kelas XII pasti akan mendapatkan materi matematika ini. Integral juga dikenal sebagai antidiferensial dan dilambangkan dengan bentuk :
Sebuah fungsi F(X) disebut sebagai integral dari f(x) selagi apabila turunan pertama F'(x) = f(x). Jadi sebuah persamaan jika diturunkan kemudian diintegralkan akan mengahasilkan persamaan seperti bentuk awal.
Contoh Sobat punya persamaan f(x) = x2 + 2x, ketika persamaan itu di turunakan maka akan menghasilkan f'(x) = 2x + 2. Dengan menggunakan integral akan dapat mengembalikan bentuk 2x + 2 ke bentuk x2 + 2x. Jika turunan menurunkan 1 tingkat eksponen dari x2 ke x maka integral akan mengembalikan tingkat eksponen satu tingkat lebih tinggi, misal x menjadi x2, x2menjadi x3, dan seterusnya. Ada dua macam integral yaitu integral tak tentu dan integral tentu.
Integral Tak Tentu
Yang dinamakan integral tak tentu adalah integral yang tidak memiliki batas atas dan bawah. Biasanya hanya berupa integral dari sebuah aljabar matematika. Bentuk integral ini tidak memiliki daerah asal dan tidak memiliki daerah hasil
∫ f(x) dx = F(x) + c
Integral Tentu
Pondasi dasar tentang integral tentu pertama kali diperkenalkan oleh Newton dan Leibinz yang kemudian dieperkenalkan secara modern oleh Riemann. Integral ini memiliki batas atas dan batas bawah. Dalam aplikasinya, integral tentu banyak digunakan untuk menghitung luas di bawah kurva dengan batas tertentu atau menghitung volume benda jika diputar.
Mengenal Sifat dan Rumus Integral
berikut ini sifat-sifat dari operasi integral
Rumus Dasar Integral
selain rumus dasar di atas, sobat bisa menggunakan rumus cepat lagi praktis
Integral Fungsi Aljabar
Jika ada fungsi aljabar yang diintegralkan maka sobat bisa menggunakan rumus berikut:
contoh, jika sobat punya aljabar 2x + 5 ketika diitegralkan akan mendapatkan hasil sebagai berikut:
Integral Fungsi Eksponen
contoh:
∫ 3e4x dx Kita misalkan 4x = u sehingga persamaan di atas menjadi
∫ 3e4x dx = ∫ 3eu du/4
= 3/4 ∫ 3eu du
= 3/4 eu + c
= 3/4 e4x + C
Intgeral Fungsi Trigonometri
berikut rumus integral dari trigonometri yang sering dipakai dalam soal-soal matematika.
a. Integral dengan variabel sudut x atau sudut ax
∫ sin x dx = – cos x + c
∫ cos x dx = sin x + c
∫ sin ax dx = – (1/a) cos ax + c
∫ cos ax dx = (1/a) sin ax + c
∫ secs2 x dx = tan x + c
b. Integral dengan Bentuk Pangkat
∫sinn x. cos x dx = (1/(n+1)) sinn+1 x + c
∫ cosn x.sin x dx = (-1/(n+1)) cosn+1 + c
∫ sinn x dx = ∫ sinn-1 x. sin x dx (jika n ganjil)
∫ cosn x dx = ∫ cosn-1x . cos x dx (jika n ganjil)
∫ sinn x dx = ∫ (sin2 x)n/2 dx (jika n genap)
∫ cosn x dx = ∫ (cos2 x)n/2 dx (jika n genap)
baca juga rumus-rumus trigonometri
Metode-Metode Integral
Ada dua metode integral yang sering digunakan dalam menyelesaikan soal. Mereka adalah metode substitusei (penggantian) dan metode parsial. Berikut penjelasannya
a. Metode Substitusi
Untuk mengintegralkan sebuah alajabar sobat bisa menggunakan metode penggantian atau substitusi. Misalkan u = g(x) dengan g(x) merupkan fungsi yang mempunyai turunan maka
∫ f(g(x)).g'(x) = ∫ f(u).du = F(u) + c
biar lebih paham rumusnya yuk simak contoh soal berikut:
Kunci dari pemecahan soal di atas adalah permisalan 1/x kita misalkan dengan u. Jadi untuk memecahkan soal-soal integral dengan cara ini sobat harus pandai-pandai membuat permisalan. Berikut contoh lainnya:
kita misalkan 3x2 + 9x -1 sebagai u
sehingga du = 6x + 9
2x + 3 = 1/3 (6x + 9) = 1/3 du
sekranga kita ganti kembali u dengan 3x2 + 9x -1 sehingga didapatkan jawaban:
b. Metode Parsial
Teknik atau metode lain yang bisa digunakan untuk melakukan integral adalah dengan metode parsial. Teknik ini biasanya digunakan untuk mencari suatu fungsi yang tidak dapat dicari integralnya jika menggunakan cara substitusi seperti pada huruf a di atas.
Jika u = f(x) dan v = g(x) maka berlaku rumus integral parsial:
∫ u.dv = u.v – ∫ v. du
Contoh Soal:
Berapa hasil dari ∫ x sin x ?
kita misalkan u = x maka du = dx
dv = sin x maka v = -cos x
(lihat rumus integral trigonometri sebelumnya)
kita masukkan ke rumus
∫ u.dv = u.v – ∫ v. du
∫ x sin x = x (-cos x) – ∫ (-cos x) dx = -x . cos x + sin x + c
Penggunaan Trigonometri Untuk Mencari Luas Daerah di Bawah Kurva dan Volume Benda Putar
Salah satu penggunaan integral adalah untuk mencari luas daerahh di bawah 1 atau lebih kurva. Berikut kami rangkumkan ilustrasi gambar berikut rumusnya:
Luas daerah yang dibatasi kurva dan sumbu x
untuk mencari luas di bawah sebuah kurva sobat cukup mengintegralkan persamaan garis tersebut kemudian memasukkan nilai x.
Luas Daerah yang Dibatasi Dua Kurva dan Sumbu X
b. Volume Benda Putar
Selain bisa digunakan untuk menghitung luasan di bawah kurva, integral bisa juga digunakan untuk mencari volume benda putar. Volume benda putar adalah volume benda yang terjadi ketika sebuah bidang dua dimensi diputar menurut sumbu tertentu (x atau y).
